Question

已知l₁是雙曲線的一條漸近線，l₂過焦點F（c，0）與漸近線l₁垂直的直線，l₃是焦點F（c，0）對應的準線，求證：直線l₁，l₂，l₃相交于一點．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），求得其中一條漸近線方程，運用兩直線垂直的條件可得l₂，聯立求得交點，說明在雙曲線的右準線上，即可得證．

解答： 證明：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則設l₁：y=

b

a

x，①
l₂過焦點F（c，0）與漸近線l₁垂直的直線，
即為l₂：y=-

a

b

（x-c），②
l₃是焦點F（c，0）對應準線，即為l₃：x=

a2

c

，③
由①②解得，x=

a2c

a2+b2

=

a2c

c2

=

a2

c

，
y=

ab

c

．
則點（

a2

c

，

ab

c

）在直線l₃上．
故直線l₁，l₂，l₃相交于一點．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查漸近線方程和準線方程的運用，同時考查兩直線垂直的條件，屬于基礎題．