Question

已知f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）=2 x2-2x．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數的值域,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據已知條件，f（0）=0，設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），所以有f（-x）=2x2+2x=-f（x），這樣即可求出x在（-1，0）上的解析式，從而得出f（x）在（-1，1）上的解析式f（x）=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）根據復合函數的單調性判斷2x2-2x在（0，1）上的單調性，從而根據單調性求出該函數在（0，1）上的值域，根據奇函數圖象的對稱性即可求出f（x）在（-1，0）上的值域，又x=0時，y=0，從而求出f（x）在（-1，1）上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-1，1）上為奇函數，f（0）=0；
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），f(-x)=2x2+2x=-f(x)；
∴f(x)=-2x2+2x；
∴f(x)=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 -2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）當x∈（0，1）時，由復合函數的單調性可知，f(x)=2x2-2x在（0，1）上單調遞減；
∴f(x)∈(

1

2

，1)；
∵f（x）為奇函數，∴當x∈（-1，0）時，∴f(x)∈(-1，-

1

2

)；
設y=f（x）；
∴綜上所述：f（x）的值域為：{y|-1＜y＜-

1

2

或y=0或

1

2

＜y＜1}．

點評：考查奇函數在原點有定義時，f（0）=0，已知x∈（0，1）上的解析式求x∈（-1，0）上解析式的方法：設x∈（-1，0），-x∈（0，1），將-x帶入f（x）在（0，1）上的解析式，然后根據f（x）為奇函數f（-x）=-f（x），從而求出f（x），以及復合函數的單調性，根據函數單調性求值域，奇函數在對稱區間上的值域的特點．