Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求函數f（x）+g（x）的定義域并判斷其奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用對數函數的性質求函數的定義域，利用函數奇偶性的定義去判斷．
（Ⅱ）需要分類討論，當a＞1和0＜a＜1時，根據函數的單調性得到不等式，解得即可

解答： 解：（1）要使函數有意義，則有

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
所以函數的定義域為（-1，1）．
因為函數f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱．
所以f（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=f（x），
所以函數f（x）是偶函數．
（Ⅱ）∵f（x）+g（x）＜0，
∴log_a（1-x²）＜0=log_a1，
當a＞1時，函數y=log_ax為增函數，故1-x²＜1，解得x≠0，
∴x的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）
當0＜a＜1時，函數y=log_ax為減函數，故1-x²＞1，解集為空集
綜上所述x的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）

點評：本題主要考查了對數函數的定義和函數的奇偶性和單調性以及不等式的解法，屬于基礎題