Question

13．已知F₁，F₂是橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1的兩焦點，P是橢圓第一象限的點．若∠F₁PF₂=60°，則P的坐標為$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程，設P點坐標，利用余弦定理求得|F₁P|•|PF₂|，根據三角形的面積公式求得面積S，利用三角形面積相等，即${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂|•y₀，即可求得y₀，代入橢圓方程，即可求得P點坐標．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，
a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，
又∵P是橢圓第一象限的點（x₀，y₀），y₀＞0，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂為左右焦點，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{7}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|F₁P|•|PF₂|cos60°，
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°，
=64-3|F₁P|•|PF₂|，
∴64-3|F₁P|•|PF₂|=28，
∴|F₁P|•|PF₂|=12．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°=3$\sqrt{3}$，
由${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂|•y₀=3$\sqrt{3}$，
解得：y₀=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
將y₀=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，代入橢圓方程，解得：x₀=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$，
∴P點坐標為：$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$，
故答案為：$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查余弦定理及三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．