Question

5．函數f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$）．
（1）當x∈[1，4]時．求該函數的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x對于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=log₄x，x∈[1，4]時，t∈[0，1]，此時y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，由二次函數的圖象和性質，可得函數的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x對于x∈[4，16]恒成立，令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt對t∈[1，2]恒成立，進而可得答案．

解答 解（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$），
  令t=log₄x，x∈[1，4]時，t∈[0，1]，
此時y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，
當t=$\frac{3}{4}$時，y取最小值-$\frac{1}{8}$，當t=0時，y取最大值1，
∴$y∈[{-\frac{1}{8}，1}]$
即函數的值域為：$[-\frac{1}{8}，1]$；
（2）若f（x）＞log₄x對于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt對t∈[1，2]恒成立，
∴$m＜2t+\frac{1}{t}-3$對t∈[1，2]恒成立
易知$g（t）=2t+\frac{1}{t}-3$在t∈[1，2]上單調遞增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m＜0．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度中檔．