Question

2．定義在區間D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，都存在常數M≥0，有|f（x）|≤M，則稱f（x）是區間D上有界函數，其中M稱為f（x）上的一個上界，已知函數g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$為奇函數．
（1）求函數g（x）在區間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的性質，求出函數的解析式，利用單調性求函數g（x）在區間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，有-1＜m²-1＜1-m＜1，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$為奇函數．
∴g（-x）=-g（x），
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{1+x}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$…（1分）
∴$\frac{1+ax}{1+x}$=$\frac{1-x}{1-ax}$，1-x²=1-a²x²
得出；a=±1，而a=1時不符合題意，
故a=-1，…（3分）
函數g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{2}{1-x}$-1）是減函數，在區間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上是單調遞減，…（4分）
g（$\frac{1}{3}$）=-1，g（$\frac{3}{5}$）=-2，|g（x）|≤2
所以g（x）在區間[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界構成的集合[2，+∞）…（6分）
（Ⅱ）g（1-m）+g（1-m²）＜0，g（1-m）＜g（m²-1），…（7分）
g（x）為減函數，…（8分）
所以有-1＜m²-1＜1-m＜1，
解得0＜m＜1，
故不等式的解集{m|0＜m＜1}．…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性，考查學生解不等式的能力，正確轉化是關鍵．