Question

設a為實數，函數f（x）=x²+x|x-a|，x∈R．當a＜0時，求f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：去掉絕對值，得到兩段函數，對兩段上求得的f（x）求解集，即可求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）當x-a≥0，即x≥a時，函數f（x）=2x²-ax=2（x-

a

4

）²-

a2

2

，
①當

a

4

≤-2時，即a≤-8時，
∴函數f（x）在[-2，2]為增函數，
∴f（-2）≤f（x）≤f（2），
∴-8+2a≤f（x）≤8-2a，
即函數的值域為[-8+2a，8-2a]
②當

a

2

≤-2時，即-4≤a＜0時，函數f（x）在[-2，

a

2

]為減函數，在（

a

2

，2]為增函數，
∴當x=

a

2

時，函數有最小值，即f（x）_min=-

1

2

a2，當x=2時，有最大值，即f（x）_max=8-2a，
即函數的值域為[-

1

2

a2，8-2a]，
（2）當x-a＜0，即x＜a時，函數f（x）=ax，
∵a＜0，
∴函數在[-2，2]上為減函數，
∴當x=2函數有最小值，即f（x）_min=2a，x=-2時，有最大值，即f（x）_max=-2a，
即函數的值域為[2a，-2a]，

點評：考查求函絕對值函數的值域的求法，以及配方法求二次函數的值域．