Question

已知點(diǎn)P在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上，且點(diǎn)P不在x軸上，A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)C，直線BC，PB的斜率分別為k_BC，k_PB，則k_BC²+k_PB²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先設(shè)直線PA的斜率為k，寫出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立組成方程組，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用k 表示直線BC和PB的斜率，然后由具體解析式求最小值．

解答： 解：由題意，得A（-3，0），直線PA的斜率存在設(shè)為k，則PA 的方程為y=k（x+3），則直線BC斜率為-k，設(shè)P（x₁，y₁），
直線PA與橢圓聯(lián)立構(gòu)成方程組得

y=kx+3k x2 9 + y2 5 =1

，得（5+9k²）x²+54k²x+81k²-45=0，
∴x1x2=-3x1=

81k2-45

5+9k2

，
x1=

-27k2+15

5+9k2

，y1=k(x1+3)=

30k

5+9k2

，
∴kPB=

y1

x1-3

=

30k 5+9k2

15-27k2 5+9k2 -3

=-

5

9k

，
∴k_BC²+k_PB²=k²+

25

81k2

≥2

k2• 25 81k2

=

10

9

，當(dāng)且僅當(dāng)k²=

25

81k2

時，等號成立，
∴k_BC²+k_PB²的最小值為

10

9

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的性質(zhì)以及橢圓與直線聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求斜率和的最小值，利用了基本不等式，屬于難題．