Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底邊長與側棱的長度都是4，ABCD是正方形．
（1）求該四棱錐的高，表面積；
（2）若M為棱錐的高PO的中點，過點M作平行于棱錐底面的截面，求截得的棱臺的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）判斷OP⊥底面ABCD，利用Rt△PED中，DE=2，PD=4，得出PE=2

3

，再Rt△PEO中OE=2，求解高即可．
（2）求解V_P-ABCD=

1

3

×4²×2

2

=

32 2

3

，根據體積之比為棱長相似比的關系求解即可得出上半部分V₀=

1

8

V_P-ABCD=

4 2

3

．

解答： 解：（1）∵取CD中點E，連接PE，O為正方形．
∵四棱錐P-ABCD的底邊長與側棱的長度都是4，O是正方形ABCD的中心．
∴OP⊥底面ABCD，
∴Rt△PED中，DE=2，PD=4，
∴PE=2

3

，
∵Rt△PEO中OE=2，
∴PO=

12-4

=2

2

，
∴該四棱錐的高2

2

，
表面積=4²+4×

1

2

×4×2

3

=16+32

3

（2）V_P-ABCD=

1

3

×4²×2

2

=

32 2

3

，
∵M為棱錐的高PO的中點，過點M作平行于棱錐底面的截面，
∴上半部分V₀=

1

8

V_P-ABCD=

4 2

3

，
∴截得的棱臺的體積=

32 2

3

-

4 2

3

=

28 2

3

點評：本題考查了空間幾何體的體積，面積的求解，關鍵是確定高，斜高，利用直角三角形求解，難度不大，屬于中檔題．