Question

已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常數．
（1）設f（x）=cosx+sinx，α=

π

2

，求g（x）的解析式；
（2）設計一個函數f（x）及一個α的值，使得g（x）=2xosx（cosx+

3

sinx）；
（3）a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C對應的邊長，a=2，若g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx），且x=

A

2

時g（x）取得最大值，求當g（x）取得最大值時b+c的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）直接利用三角函數誘導公式進行變換應用．
（2）先對關系式進行變換然后利用拼湊法進行應用求出結果．
（3）先對函數進行變換求出函數的正弦形形式，進一步利用最大值求出A的大小，再利用關系式的應用轉化，利用正弦定理求出函數的正弦形式，進一步利用正弦型函數求出結果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cosx+sinx，
則：f（x+

π

2

）=cosx-sinx，
則：g（x）=f（x）f（x+

π

2

）=cos²x-sin²x=cos2x；
（2）g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）=4cosxcos（x-

π

3

），
若f（x）=2cosx，則f（x+α）=f（x-

π

3

）=2cos（x-

π

3

），
則：α=-

π

3

，
f（x）=2cosx；
（3）g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）=2sin（2x+

π

6

）+1，
且當x=

A

2

時，g（x）的最大值為3．，
所以：A+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
由于A是三角形的內角，則0＜A＜π，
所以：A=

π

3

．
由正弦定理得：b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
b+c=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC，
=4sin（B+

π

6

）．
由于0＜B＜

2π

3

，
所以：sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
所以：b+c∈（2，4]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，三家函數的性質的應用，解三角形中正弦定理的應用．屬于基礎題型．