Question

如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是B的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專(zhuān)題：證明題,平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，表示出

AD

，

CE

，再由數(shù)量積可得

AD

•

CE

=（

1

2

CB

-

CA

）•（

2

3

CB

+

1

3

CA

）=

1

3

CB

²-

2

3

CB

•

CA

+

1

6

CB

•

CA

-

1

3

CA

²；從而判斷垂直．

解答： 證明：∵在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
∴

2

|AC|=

2

|BC|=|AB|，

AD

=

CD

-

CA

=

1

2

CB

-

CA

；

CE

=

CA

+

AE

=

CA

+

2

3

AB

=

CA

+

2

3

（

CB

-

CA

）
=

2

3

CB

+

1

3

CA

；
故

AD

•

CE

=（

1

2

CB

-

CA

）•（

2

3

CB

+

1

3

CA

）
=

1

3

CB

²-

2

3

CB

•

CA

+

1

6

CB

•

CA

-

1

3

CA

²；
∵CB⊥CA，
∴

CB

•

CA

=0；
故

1

3

CB

²-

2

3

CB

•

CA

+

1

6

CB

•

CA

-

1

3

CA

²
=

1

3

CB

²-

1

3

CA

²
=0；
故AD⊥CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量在判斷平面位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．