Question

與圓C₁：（x+3）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+y²=9同時外切的動圓圓心的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支，由此能求出其軌跡方程．

解答： 解：如圖所示，
設動圓M與圓C₁及圓C₂分別外切于點A和點B，
根據兩圓外切的充要條件，得
|MC₁|-|AC₁|=|MA|，
|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
因為|MA|=|MB|，
所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．
這表明動點M到兩定點C₂，C₁的距離之差是常數2．
根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C₂的距離大，到C₁的距離小），
這里a=1，c=3，則b²=8，設點M的坐標為（x，y），
其軌跡方程為x²-

y2

8

=1，（x≤-1）．
故答案為：x²-

y2

8

=1．（x≤-1）．

點評：本題考查動圓圓心的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓、雙曲線簡單性質的合理運用．