Question

已知a≤

1-x

x

+lnx，對任意x∈[

1

2

，2]恒成立，則a的最大值

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：設f（x）=

1-x

x

+lnx，依題意，a≤f（x）_min，利用導數法可求得f（x）=

1-x

x

+lnx的極小值，也是最小值，從而可得a的最大值．

解答： 解：設f（x）=

1-x

x

+lnx，
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵a≤

1-x

x

+lnx，對任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴a≤f（x）_min，
令f′（x）=0，得：x=1；
當

1

2

≤x＜1時，f′（x）＜0，f（x）=

1-x

x

+lnx單調遞減；
當1＜x≤2時，f′（x）＞0，f（x）=

1-x

x

+lnx單調遞增；
∴f（x）_min=f（1）=0，
∴a≤0，
∴a的最大值為：0．
故答案為：0．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查構造函數思想、等價轉化思想與導數法求極值的綜合應用，求得f（x）=

1-x

x

+lnx的最小值是關鍵，屬于中檔題．