Question

已知函數y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為T，且在一個周期內的圖象如圖所示，
（1）求函數的解析式；
（2）若函數g（x）=f（mx）+1（m＞0）的圖象關于點M（

4π

3

，0）對稱，且在區間[0，

π

2

]上不是單調函數，求m的取值所構成的集合．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據最值求出A，B，利用周期求出ω，結合最大值求出φ，可得函數的解析式；
（2）利用對稱性，求出m=

3

2

k+

1

4

，k∈N，結合函數在區間[0，

π

2

]上不是單調函數，求m的取值所構成的集合．

解答： 解：（1）由圖象得T=4π，∴ω=

1

2

，
又A＞0，∴

A+B=2 -A+B=-4

解得A=3，B=-1…（3分）
∴y=3sin（

1

2

x+φ）-1
∵f（

4π

3

）=2，∴sin（

2π

3

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴y=3sin（

1

2

x-

π

6

）-1…（5分）
（2）g（x）=f（mx）+1=3sin（

m

2

x-

π

6

），
∵函數g（x）=f（mx）+1（m＞0）的圖象關于點M（

4π

3

，0）對稱，
∴g（

4π

3

+x）=-g（

4π

3

-x），
令x=0，則g（

4π

3

）=0，
∴3sin（

2mπ

3

-

π

6

）=0，
∴

2mπ

3

-

π

6

=kπ，
∴m=

3

2

k+

1

4

，k∈N…（8分）
k=0，m=

1

4

；k=1，m=

7

4

，函數在區間[0，

π

2

]上單調遞增，
k≥2，m≥

13

4

，函數在區間[0，

π

2

]上不是單調函數，
綜上，m的取值所構成的集合為{m|m=

3

2

k+

1

4

，k∈N且k≥2}．…（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數的解析式，屬于中檔題．