Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=-6，S₅=S₆．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數列{2^n-1•a_n}的前n項和為T_n，求不等式T_n-n•2ⁿ⁺¹+100＞0的解集．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據條件求出公差即可求{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法進行求和，解不等式即可

解答： 解：（1）在等差數列中，S₅=S₆．得a₆=0，
∵a₃=-6．∴d=

a6-a3

6-3

=2，
則{a_n}的通項公式a_n=a₆+（n-6）d=2n-12；
（2）T_n=（-10）•2⁰+（-8）•2¹+（-6）•2²+…+（2n-14）•2^n-2+（2n-12）•2^n-1，①
2T_n=（-10）•2¹+（-8）•2²+（-6）•2³+…+（2n-14）•2^n-1+（2n-12）•2ⁿ，②
①-②得-T_n=（-10）•+2•（2¹+2²+…+•2^n-1）-（2n-12）•2ⁿ=-10+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-12）•2ⁿ=-14-（n-7）•2ⁿ⁺¹，
則T_n=14+（n-7）•2ⁿ⁺¹，
故不等式T_n-n•2ⁿ⁺¹+100＞0等價為7•2ⁿ⁺¹＜114，
即2ⁿ⁺¹＜

114

7

=16

2

7

，
故不等式的解集為{1，2，3}．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式的求解，以及利用錯位相減法進行求和，考查學生的計算能力．