Question

已知圓C₁：x²+y2=2，在圓C₁上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PQ，Q為垂足，點M滿足

PM

=（1-

2

2

）

PQ

．
（1）求點M的軌跡C₂的方程；
（2）過點（0，1）作直線l，l與C₁交于A、B兩點，l與C₂交于C、D兩點，求|AB|•|CD|的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x₀，y₀），P（x，y），則Q（x，0），由題意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，由此能求出點M的軌跡方程．
（2）當直線l斜率不存在時，|AB|•|CD|=4

2

，當直線l斜率存在時，設l的方程為y=kx+1，將l：y=kx+1與C₁：x²+y²=2聯立，得（k²+1）x²+2kx-1=0，由此利用根與系數的關系和弦長公式得|AB|=

8k2+4 k2+1

，同理|CD|=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，由此能求出|AB|•|CD|的最大值為4

2

．

解答： 解：設M（x₀，y₀），P（x，y），則Q（x，0），
∴

PM

=（x₀-x，y₀-y），

PQ

=（0，-y），
由題意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，
∴

x0-x=0 y0-y=( 2 2 -1)y

，解得

x=x0 y= 2 y0

，
∵P在圓C₁：x²+y²=2上，∴x02+2y02=2，
∴點M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）當直線l斜率不存在時，|AB|=2

2

，|CD|=2，
則|AB|•|CD|=4

2

，
當直線l斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將l：y=kx+1與C₁：x²+y²=2聯立，消去y，整理，得：
（k²+1）x²+2kx-1=0，
由根與系數的關系，得：x1+x2=-

2k

k2+1

，x1x2=-

1

k2+1

，
∴|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

4k2 (k2+1)2 + 4 k2+1

=

8k2+4 k2+1

，
同理，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
將直線l：y=kx+1與C₂：

x2

2

+y2=1聯立，消去y，
整理，得：（2k²+1）x²+4kx=0，
由根與系數的關系，得：x3+x4=-

4k

2k2+1

，x₃x₄=0，
∴|CD|=

1+k2

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，
∴|AB|•|CD|=

8k2+4 k2+1

•

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

=8

k2 2k2+1

＜8•

1 2

=4

2

，
綜上，|AB|•|CD|的最大值為4

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查線段乘積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和弦長公式的合理運用．