Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，兩式作差變形可得數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即可得出結(jié)論．

解答： 解：在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，則a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列
于是

an

2n

=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
從而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
故答案為：n•2ⁿ（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與變形求通項(xiàng)公式，確定數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列是關(guān)鍵．