Question

8．已知R上的不間斷函數g（x）滿足：
①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立；
②對任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．
又函數f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，當x∈[0，$\sqrt{3}$]時，f（x）=x³-3x．
若關于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2），對于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，則a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由于函數g（x）滿足：①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數g（x）的導函數）；②對任意x∈R都有g（x）=g（-x），這說明函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[2-$3\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可

解答 解：因為函數g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立，且對任意x∈R都有g（x）=g（-x），
則函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g（|x|）=g（x），
∵關于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2），對于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|對于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，
故只要使得定義域內|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
∵對任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，當x∈[0，$\sqrt{3}$]時，f（x）=x³-3x，
∴設x∈[-$\sqrt{3}$，0]，則$\sqrt{3}$+x∈[0，$\sqrt{3}$]，故f（$\sqrt{3}$+x）=$（\sqrt{3}+x）^{3}-3（\sqrt{3}+x）$
∴f（x）=-f（$\sqrt{3}$+x）=$-{x}^{3}-3\sqrt{3}x-6x$
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-3\sqrt{3}{x}^{2}-6x，x∈[-\sqrt{3}，0）}\\{{x}^{3}-3x，x∈[0，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$
當x∈[-$\sqrt{3}$，0]時，$f'（x）=-3{x}^{2}-6\sqrt{3}x-6$，令f'（x）=0，得${x}_{1}=1-\sqrt{3}$，或${x}_{2}=-1-\sqrt{3}$（舍去）
∴f（x）在$[-\sqrt{3}，1-\sqrt{3}]$上單調遞增，則[$1-\sqrt{3}$，0]上單調遞減，
$f（x）_{max}=f（1-\sqrt{3}）=2$，$f（x）_{min}=f（-\sqrt{3}）=0$
當x$∈[0，\sqrt{3}]$時，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f'（x）=0，得x=1
∴f（x）在[0，1]單調遞減，在[1，$\sqrt{3}$]單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，$f（x）_{max}=f（0）=f（\sqrt{3}）=0$
∵對任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x），
∴$f（x+2\sqrt{3}）=-f（x+\sqrt{3}）=f（x）$，即f（x）為周期函數且周期為T=$2\sqrt{3}$，
∴x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]時，f（x）_max=2，
∴|a²-a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1
故答案為：（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評 此題考查了函數的奇偶性和周期性的定義，利用導函數判斷函數在定義域上的單調性以及求函數的最值，還考查了函數恒成立條件的應用，難度較大．