Question

19．給出以下四個結論，正確的個數為（　　）
①函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x圖象的對稱中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0）k∈Z；
②在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充分不必要條件；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件；
④若將函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ的最小值是$\frac{π}{12}$．

• A． 0
• B． 2
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 根據三角函數的對稱性，可判斷①；根據充要條件的定義，可判斷②③；根據三角函數的奇偶性，可判斷④．

解答 解：①函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）圖象的對稱中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0）k∈Z，故錯誤；
②在三角形中，cos2A＜cos2B等價為1-2sin²A＜1-2sin²B，即sinA＞sinB．
若A＞B，則邊a＞b，則2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB．充分性成立．
若sinA＞sinB，則2RsinA＞2RsinB，則a＞b，根據大邊對大角，可知A＞B，必要性成立．
所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．
即A＞B是cos2A＜cos2B成立的充要條件，故錯誤；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”?“sinBcosA=sinAcosB”?“sin（A-B）=0”?“A=B”?“△ABC為等腰三角形”
故“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件，故正確；
④若將函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，則φ的最小值是$\frac{π}{12}$，故正確．
故選：B

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了充要條件，三角函數的圖象和性質等知識點，難度中檔．