Question

5．已知函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數，f（1）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函數f（x）在[1，+∞）上的值域；
（Ⅱ）若函數g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出參數k、a，再根據y=2^x是增函數，y=2^-x是減函數，則f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞）上單調遞求解．
（Ⅱ）設t=f（x），由（Ⅰ）及題設知：y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2，再根據含參數二次函數性質求解．

解答 解：（Ⅰ） 由題設知：$\left\{\begin{array}{l}f（0）=k-1=0\\ f（1）=ka-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=2\end{array}\right.$…（2分）
∴f（x）=2^x-2^-x…（3分）
∵y=2^x是增函數，y=2^-x是減函數
∴f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞）上單調遞增 …（5分）
∴所求值域為[f（1），+∞），即$[{\frac{3}{2}}\right.，\;\left.{+∞}）$…（6分）
（Ⅱ） 設t=f（x），由（Ⅰ）及題設知：y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2
即y=（t-m）²+2-m²在$[{\frac{3}{2}}\right.，\;\left.{+∞}）$上的最小值為-2，…（7分）
∴當$m≥\frac{3}{2}$時，t=m，${y_{min}}=2-{m^2}=-2$，得m=2；…（9分）
當$m＜\frac{3}{2}$時，$t=\frac{3}{2}$，${y_{min}}=\frac{9}{4}-3m+2=-2$，得$m=\frac{25}{12}＞\frac{3}{2}\;（舍）$；…（11分）
∴m=2…（12分）

點評 本題考查了函數的值域的求解，屬于中檔題．