Question

9．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x-3y≤-2\\ x≥1\end{array}\right.$，則目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 8
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識先求出a，b的關系，然后利用基本不等式求則的最小值．

解答 解：由約束條件得到可行域如圖：目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）
即y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的最小值為2是過圖中A（1，1）得到，所以a+b=2，所以a+b=2≥2$\sqrt{ab}$，
所以ab≤1，則$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥$\frac{2}{ab}$≥2；
當且僅當a=b時等號成立；
故選B．

點評 本題主要考查線性規劃的應用以及基本不等式的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．