Question

4．函數f（x）=k•a^-x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$是奇函數，求b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下判斷函數g（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數法求解析式即可；
（Ⅱ）利用奇函數的定義得到關于b的等式解之即可；
（Ⅲ）利用單調性的定義進行判斷證明．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=k•a^-x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ k{a^{-3}}=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，------------------（2分）
∴$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^{-x}}={2^x}$，-------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，∵函數$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$為奇函數，
∴g（-x）=-g（x）即$\frac{{{2^{-x}}+b}}{{{2^{-x}}-1}}=-\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，---------（5分）
∴$\frac{{b{2^x}+1}}{{1-{2^x}}}=\frac{{{2^x}+b}}{{1-{2^x}}}$-------------（6分）
∴b=1．-----------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，∴g（x）在（0，+∞）為減函數，---（8分）
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=1+\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-（{1+\frac{2}{{{2^{x_2}}}}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}=\frac{{2（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}-1}）（{{2^{x_2}}-1}）}}$，-----------------------（9分）
∵0＜x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，{2^{x_1}}＞1，{2^{x_2}}＞1$，-----------（10分）
∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，{2^{x_1}}-1＞0，{2^{x_2}}-1＞0$，即g（x₁）-g（x₂）＞0，∴g（x₁）＞g（x₂）---（11分）
∴g（x）在（0，+∞）為減函數-------------------------------（12分）

點評 本題考查了待定系數法求解析式以及利用定義判斷函數的奇偶性和單調性；屬于中檔題．