Question

9．已知直線l：y=k（x+1）-$\sqrt{3}$與圓x²+y²=12交于A、B兩點，過A、B分別做l的垂線與x軸交于C、D兩點，若|AB|=4$\sqrt{3}$，則|CD|=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據直線與圓相交，圓x²+y²=12可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，弦長為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，說明直線l過圓心O所以可以得到直線AB的傾斜角．根據AOC和OBD是兩個全等的直角三角形，OA=OB=2$\sqrt{3}$，
即可求出OC和OD，由直線的傾斜角即可得到|CD|的長度．

解答 解：由圓的方程x²+y²=12可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，
∵弦長為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，
∴可以得知直線l經過圓心O．
∴0=k（0-1）-$\sqrt{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
∴直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x，
設直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°，
∴在Rt△AOC中：|CO|=$\frac{|OA|}{cos60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
那么：|CD|=2|OC|=8$\sqrt{3}$，
故答案為：8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．