Question

15．已知雙曲線C的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線C交于不同兩點A、B，且A、B兩點間的距離恰好等于焦距，若這樣的直線l有且僅有兩條，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（1，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 討論當A，B均在右支上，可得c＞$\frac{2{b}^{2}}{a}$，當A，B在左右兩支上，可得c＞2a，運用離心率公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：當A，B均在右支上，可得c＞$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
即有2b²＜ac，即2c²-ac-2a²＜0，
即為2e²-e-2＜0，
解得1＜e＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$；
當A，B在左右兩支上，可得c＞2a，
即有e＞2．
故答案為：（1，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）∪（2，+∞）

點評 本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件，屬于中檔題