Question

3．已知雙曲線C的中心在坐標原點，F（-2，0）是C的一個焦點，一條漸進線方程為$\sqrt{3}$x-y=0．
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與雙曲線C有且只有一個公共點，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）聯立方程組，消元，根據判別式即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$a=1\;，b=\sqrt{3}$，所以雙曲線方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（Ⅱ）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}-3=0}\end{array}\right.$得（3-k²）x²-2kx-4=0，
因為直線與雙曲線有且只有一個公共點，
所以3-k²=0或△=（-2k）²+16（3-k²）=0，
即k²=4或k²=3，
所以k=±$\sqrt{3}$或k=±2．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查漸近線方程的運用，以及直線和雙曲線的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．