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3.已知雙曲線C的中心在坐標原點,F(-2,0)是C的一個焦點,一條漸進線方程為$\sqrt{3}$x-y=0.
(Ⅰ)求雙曲線方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+1與雙曲線C有且只有一個公共點,求k的值.

分析 (Ⅰ)設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,a>0,b>0,依題意,$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,解得即可,
(Ⅱ)聯立方程組,消元,根據判別式即可求出k的值.

解答 解:(Ⅰ)設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,a>0,b>0,
依題意,$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
解得$a=1\;,b=\sqrt{3}$,所以雙曲線方程x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
(Ⅱ)聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}-3=0}\end{array}\right.$得(3-k2)x2-2kx-4=0,
因為直線與雙曲線有且只有一個公共點,
所以3-k2=0或△=(-2k)2+16(3-k2)=0,
即k2=4或k2=3,
所以k=±$\sqrt{3}$或k=±2.

點評 本題考查雙曲線的方程和性質,主要考查漸近線方程的運用,以及直線和雙曲線的位置關系,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)若f(x)≥g(x),求$\frac{b(a+1)}{2}$的最大值.

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