分析 (Ⅰ)設直線方程為y=k(x-1),代入y2=4x,利用韋達定理,結合x0=2,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)求出線段AB的垂直平分線方程,表示$\frac{|AB|}{|DE|}$,即可求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)設直線方程為y=k(x-1),代入y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$,∴x0=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=2,
∴k=$±\sqrt{2}$.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x0=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$,y0=$\frac{2}{k}$,
線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$(x-$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$).
令y=0,可得x=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$,令x=0,y=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$,
∴|DE|=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$,
|AB|=x1+x2+p=$\frac{4({k}^{2}+1)}{{k}^{2}}$,
∴$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}({k}^{2}+1)}}{3{k}^{2}+2}$,
設t=3k2+2(t>3),則
$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{8}-2(\frac{1}{t}+\frac{1}{4})^{2}}$∈($\frac{8}{9}$,$\frac{4}{3}$).
點評 本題考查直線與拋物線的位置關系,考查拋物線的性質,考查韋達定理的運用,屬于中檔題.
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A. | A'C⊥BD | B. | 四面體 A'-BCD的體積為 $\frac{1}{3}$ | ||
C. | CA'與平面 A'BD所成的角為 30° | D. | ∠BA'C=90° |
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A. | [0,2] | B. | [-$\frac{1}{4}$,2] | C. | (0,2] | D. | (-$\frac{1}{4}$,2] |
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A. | ③⑤ | B. | ①②④ | C. | ③④⑤ | D. | ②③ |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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