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11.已知拋物線C:y2=4x,過焦點且與坐標軸不平行的直線與該拋物線相交于A、B兩點,記線段AB中點為P(x0,y0).
(Ⅰ)若x0=2,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)設線段AB的垂直平分線與x軸,y軸分別相交于點D、E.當直線AB的斜率大于$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時,求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范圍.

分析 (Ⅰ)設直線方程為y=k(x-1),代入y2=4x,利用韋達定理,結合x0=2,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)求出線段AB的垂直平分線方程,表示$\frac{|AB|}{|DE|}$,即可求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)設直線方程為y=k(x-1),代入y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$,∴x0=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=2,
∴k=$±\sqrt{2}$.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x0=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$,y0=$\frac{2}{k}$,
線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$(x-$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$).
令y=0,可得x=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$,令x=0,y=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$,
∴|DE|=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$,
|AB|=x1+x2+p=$\frac{4({k}^{2}+1)}{{k}^{2}}$,
∴$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}({k}^{2}+1)}}{3{k}^{2}+2}$,
設t=3k2+2(t>3),則
$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{8}-2(\frac{1}{t}+\frac{1}{4})^{2}}$∈($\frac{8}{9}$,$\frac{4}{3}$).

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系,考查拋物線的性質,考查韋達定理的運用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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