Question

11．已知拋物線C：y²=4x，過焦點且與坐標軸不平行的直線與該拋物線相交于A、B兩點，記線段AB中點為P（x₀，y₀）．
（Ⅰ）若x₀=2，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設線段AB的垂直平分線與x軸，y軸分別相交于點D、E．當直線AB的斜率大于$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線方程為y=k（x-1），代入y²=4x，利用韋達定理，結合x₀=2，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）求出線段AB的垂直平分線方程，表示$\frac{|AB|}{|DE|}$，即可求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設直線方程為y=k（x-1），代入y²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=2，
∴k=$±\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₀=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$，
線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$）．
令y=0，可得x=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，令x=0，y=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$，
∴|DE|=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3{k}^{2}+2}$，
設t=3k²+2（t＞3），則
$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}+\frac{1}{4}）^{2}}$∈（$\frac{8}{9}$，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的性質，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．