Question

2．函數f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$，x∈（2，8]的值域為（　　）

• A． [0，2]
• B． [-$\frac{1}{4}$，2]
• C． （0，2]
• D． （-$\frac{1}{4}$，2]

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡為f（x）=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$利用換元法轉為二次函數求解即可．

解答 解：函數f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•（lo{g}_{2}\frac{x}{2}-1）$
令t=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}$，
∵x∈（2，8]，
∴t∈（0，2]．
函數f（x）轉化為g（t）=t（t-1）=t²-t，
開口向上，對稱軸t=$\frac{1}{2}$，
當t=$\frac{1}{2}$時，函數g（t）取得最小值為$-\frac{1}{4}$，
當t=2時，函數g（t）取得最大值為2．
∴函數g（t）的值域為[$-\frac{1}{4}$，2]，即函數f（x）的值域為[$-\frac{1}{4}$，2]，
故選B．

點評 本題考查了對數的化簡計算以及性質和值域的求法，利用了換元法．