Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=1，∠B=45°，△ABC的面積S=2
（1）求邊b的長；
（2）求△ABC的外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據三角形面積公式求得c邊的長，進而利用余弦定理求得b的值．
（2）根據正弦定理利用$\frac{b}{sinB}$=2R求得三角形外接圓的直徑，根據圓的面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=2，
∴$\frac{1}{2}$×1×c×sin45°=2，
∴c=4$\sqrt{2}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=1+32-2×1×4$\sqrt{2}$×cos45°，
∴b²=25，b=5．
（2）∵b=5，∠B=45°，
∴△ABC的外接圓的直徑等于$\frac{b}{sinB}$=5$\sqrt{2}$，可求△ABC的外接圓的面積S=π×（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{25π}{2}$．

點評 本題主要考查了三角形的面積公式，圓的面積公式，正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用．作為正弦定理和余弦定理的變形公式也應熟練掌握，以便做題時方便使用，屬于基礎題．