Question

已知函數

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，若在區間上的最小值為-2，求的取值范圍；

（3）若對任意，且恒成立，求的取值.

 

Answer 1

（1）；（2）;(3) .

【解析】

試題分析：（1）曲線在點處的切線斜率，等于函數在該點的導數值.

（2）遵循“求導數、求駐點、討論區間導數值的正負、確定極值”等步驟，

通過討論，，，時函數的單調性，確定得到最小值，

確定的取值范圍.

（3）根據題目的條件結構特征，構造函數，即，

只要在上單調遞增即可.

通過研究

討論，，得到在上單調遞增；

當時，只需在上恒成立，因為，將問題轉化成只要，從而，利用一元二次不等式的知識，得到實數的取值范圍.

本題突出利用了“轉化與化歸思想”.

試題解析：（1）當時，，

∵，

∴曲線在點處的切線方程是；

（2）函數x的定義域是．

當時，

令，得或．

當，即時，在上單調遞增，

所以在上的最小值是；

當時，在上的最小值是，不合題意；

當時，在上單調遞減，

所以在上的最小值是，不合題意．

綜上，a≥1；

（3）設，則，

只要在上單調遞增即可。 10分

而

當時，，此時在上單調遞增； 11分

當時，只需在上恒成立，因為，只要，

則需要， 12分

對于函數，過定點（0，1），對稱軸，只需，

即. 綜上. 14分

考點：利用導數研究函數的單調性、極值，導數的幾何意義，直線方程.