Question

15．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}$
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）直接寫出單調區間，并計算f（log₃2+1）的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（0）=0，x＜0時，函數的解析式，即可求函數f（x）的解析式；
（2）根據函數解析式，直接寫出單調區間，并計算f（log₃2+1）的值．

解答 解：（1）因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0
當x＜0時，-x＞0，$f（x）=-f（-x）=-{（{\frac{1}{3}}）^{-x}}=-{3^x}$
所以函數的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{3^x}（x＜0）\\ 0（x=0）\\{（{\frac{1}{3}}）^x}（x＞0）\end{array}\right.$…（4分）
（2）f（x）的單調遞減區間是（-∞，0），（0，+∞）…（6分）$f（{log_3}2+1）={（\frac{1}{3}）^{{{log}_3}2+1}}=\frac{1}{{{3^{{{log}_3}2}}•3}}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}$…（8分）

點評 本題考查函數解析式的求解，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．