Question

7．在物理實驗中，為了研究所掛物體的重量x對彈簧長度y的影響．某學生通過實驗測量得到物體的重量與彈簧長度的對比表：

物體重量（單位g）	1	2	3	4	5
彈簧長度（單位cm）	1.5	3	4	5	6.5

（1）利用最小二乘法求y對x的回歸直線方程；
（2）預測所掛物體重量為8g時的彈簧長度．
（參考公式及數據：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}，a=\overline y-b\overline x$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=72$）

Answer 1

分析 （1）由表中數據，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數b、a，寫出回歸方程；
（2）利用線性回歸方程計算x=8時y的值即可．

解答 解：（1）由表中數據，得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（1.5+3+4+5+6.5）=4，
又$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=72$，
∴b=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{72-5×3×4}{55-5{×3}^{2}}$=1.2，
∴a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=4-1.2×3=0.4；
∴y關于x的線性回歸方程為y=1.2x+0.4；
（2）由線性回歸方程為y=1.2x+0.4，
把x=8代入回歸方程y=1.2x+0.4中，
得：y=1.2×8+0.4=10，
故預測所掛物體重量為8g時的彈簧長度10cm．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題目．