Question

17．已知$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$
（1）當x∈R時，f（x）有最大值6，求m的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$，化簡可得f（x）的關系式，結合三角函數的性質可得答案．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區間上，解不等式得函數的單調遞減區間；

解答 解：$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，
∴$f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+2m-1$，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2m．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2m．
（1）當x∈R時，f（x）有最大值6，
∴2+2m=6．
可得：m=2．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+4$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$．
∴f（x）的單調遞減區間為$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]，k∈Z$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．