Question

已知函數f（x）=

x

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數．
（Ⅰ）用定義法證明函數f（x）在（-1，1）上是增函數；
（Ⅱ）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）直接利用用定義法證明函數f（x）在（-1，1）上是增函數；
（Ⅱ）不等式f（x-1）+f（x）＜0轉化為f（x-1）＜f（-x）．利用函數的單調性列出不等式組求解即可．

解答： （本小題滿分8分）
解：（Ⅰ）證明：對于任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)+x1x2(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x1-x2＜0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0，
∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函數．…（4分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，f（x）是奇函數且在（-1，1）上遞增，
f（x-1）+f（x）＜0，f（x-1）＜-f（x），f（x-1）＜f（-x）
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

∴

0＜x＜2 -1＜x＜1 x＜ 1 2

∴0＜x＜

1

2

．
∴不等式的解集為(0，

1

2

)．…（8分）．

點評：本題考查函數的單調性的應用，單調性的證明，是基本知識的考查．