Question

設函數f(x)=2cos2x-cos(2x-

π

3

)
（Ⅰ）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（B+C）=

3

2

，a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用兩角和與差的余弦函數公式變形，整理后化為一個角的余弦函數，利用余弦函數的值域確定出求f（x）的值域即可；
（Ⅱ）由f（B+C）=

3

2

，及第一問確定出的解析式，求出A的度數，再由a的值，利用余弦定理列出關系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-cos（2x-

π

3

）+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
則由余弦曲線可得f（x）的值域為[0，

3

2

]；
（Ⅱ）由f（B+C）=cos[2（B+C）+

π

3

]+1=

3

2

，得cos（2A-

π

3

）=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

，
把a=2，代入得：4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

，
則△ABC面積的最大值為

3

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．