Question

4．已知點(diǎn)F，A是橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則△PAF周長(zhǎng)的最大值為16．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義，丨PF丨+丨PF₂丨=2a=8，丨AF丨+丨AF₂丨=2a=8，則l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF₂丨+丨AF₂丨=4a=16，即可求得△PAF周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，a=4，b=2$\sqrt{2}$，c=2，則左焦點(diǎn)（-2，0）和上頂點(diǎn)（0，2$\sqrt{2}$），
則橢圓的右焦點(diǎn)F₂（-2，0），
由橢圓的定義丨PF丨+丨PF₂丨=2a=8，丨AF丨+丨AF₂丨=2a=8，
∴△PAF周長(zhǎng)l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF₂丨+丨AF₂丨=4a=16，
當(dāng)且僅當(dāng)AP過F₂時(shí)△PAF周長(zhǎng)取最大值，
∴△PAF周長(zhǎng)的最大值16，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)及橢圓的定義，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．