Question

已知點(diǎn)A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在拋物線y²＝2px(p＞0)上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合(如圖)

(1)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求BC所在直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解析]：(1)由點(diǎn)A(2，8)在拋物線上，有， 　　解得p＝16．所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8，0). 　　(2)如圖，由于F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則 　　，解得， 　　所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11，－4)． 　　(3)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為： 　　由消x得， 　　所以，由(2)的結(jié)論得，解得 　　因此BC所在直線的方程為：