Question

如圖所示，已知點(diǎn)A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在拋物線y²＝2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合．

(1)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求BC所在直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由點(diǎn)A(2，8)在拋物線y2＝2px上，有 　　82＝2p·2，解得p＝16． 　　所以拋物線方程為y2＝32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8，0)； 　　(2)如圖，由F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且＝2，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝8，＝0， 　　解得x0＝11，y0＝－4　所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11，－4)； 　　(3)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸． 　　設(shè)BC所成直線的方程為y＋4＝k(x－11)(k≠0)， 　　由消x得ky2－32y－32(11k＋4)＝0， 　　所以y1＋y2＝，由(Ⅱ)的結(jié)論得＝－4，解得k＝－4， 　　因此BC所在直線的方程為y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0． 　　分析：本題第一問，只要利用點(diǎn)A(2，8)的拋物線y2＝2px上，從而確定；第二問，利用三角形的重心所具有的性質(zhì)不難得知；第三問，利用已知以及前兩個(gè)問題得到的結(jié)論，從而得到直線BC的方程．