Question

已知點(diǎn)A(2，8)、B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)在拋物線y²=2px上，DABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合，（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）求BC所在直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 解：（1）由點(diǎn)A(2，8)在拋物線y2=2px上，有82=2p×2  解得p=16 所以拋物線方程為y2=32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8，0) （2）如圖，由于F(8，0)是DABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且=2 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得x0=11，y0=-4 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11，-4) （3）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸． 設(shè)BC所成直線的方程為：y+4=k(x-11)(k¹0)， 由消x得ky2-32y-32(11k+4)=0，所以y1+y2=，由（2）的結(jié)論得 =-4解得k=-4，因此BC所在直線的方程為：y+4=-4(x-11)，即4x+y-40=0．