Question

【題目】橢圓的右焦點為，且短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓與軸正半軸的交點，是否存在直線，使得交橢圓于兩點，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據短軸長和離心率可求，從而得到橢圓的標準方程；

（2）假設存在直線，則其斜率為，設的方程為，，由為垂心可得，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理可得關于的方程，解該方程后可得所求的直線方程.

（1）設橢圓的方程為，則由題意知，所以.

，解得，所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，的方程為，所以，

所以直線的斜率，假設存在直線，使得是的垂心，則.

設的斜率為，則，所以.

設的方程為,.

由，得，

由，得，

.

因為，所以，因為，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

當時，直線過點，不能構成三角形，舍去；

當時，滿足，

所以存在直線，使得是的垂心，的方程為.