Question

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為為參數，直線與曲線分別交于兩點.

（1）若點的極坐標為，求的值；

（2）求曲線的內接矩形周長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）16.

【解析】

（1）根據題意，將曲線C的極坐標方程變形為標準方程，將直線的參數方程與曲線C的方程聯立，可得，由一元二次方程根與系數的關系計算可得答案；

（2）寫出曲線C的參數方程，分析可得以P為頂點的內接矩形周長l，由正弦函數的性質分析可得答案．

（1）由，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,

所以曲線C的直角坐標方程為+3=12，的極坐標為，化為直角坐標為（-2，0）

由直線l的參數方程為：（t為參數），

知直線l是過點P（-2，0），且傾斜角為的直線，

把直線的參數方程代入曲線C得，．

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4．

（2）由曲線C的方程為 ，

不妨設曲線C上的動點，

則以P為頂點的內接矩形周長l，

又由sin（θ）≤1，則l≤16；

因此該內接矩形周長的最大值為16．