Question

【題目】已知函數.

（I）若曲線上點處的切線過點，求函數的單調減區間；

（II）若函數在區間內無零點，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，求得，解得的值，從而求出函數的單調減區間；（2）根據題意，把函數為零點轉化為恒成立，令，，根據函數的單調性求出的最小值即可．

試題解析：（1）因為,所以, 所以．又,所以,得,由,得,所以函數的單調減區間為．

（2）因為當時，,所以在區間內恒成立不可能．所以要使函數在區間內無零點，只要對任意的恒成立，即對恒成立，令,則．再令,則,所以在區間內為減函數，所以, 所以．于是在區間內為增函數，所以,所以要使恒成立，只要．綜上，若函數在區間內無零點，則實數的最小值為．