Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{（m+1）^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，P是該雙曲線上的點，P在該雙曲線兩漸近線上的射影分別是A、B，則|PA|•|PB|的值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 運用離心率公式，解方程可得m=1，求得漸近線方程，設P（s，t），可得s²-4t²=4，運用點到直線的距離公式，化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{（m+1）^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{（m+1）^{2}+{m}^{2}}{（m+1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
解得m=1，
即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
漸近線方程為x±2y=0，
設P（s，t），可得s²-4t²=4，
由題意可得|PA|•|PB|=$\frac{|s+2t|}{\sqrt{1+4}}$•$\frac{|s-2t|}{\sqrt{1+4}}$
=$\frac{|{s}^{2}-4{t}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率和漸近線方程，考查點到直線的距離公式，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．