Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若角A、B、C成等差數列，且b=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由A，B，C成等差數列，利用等差數列的性質及內角和定理求出B的度數，由余弦定理列出關系式，把b=1，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形ABC的面積．

解答： 解：∵A、B、C成等差數列，A+B+C=π
∴2B=A+C，即B=

π

3

，
∵b=1，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=1，
整理得：1=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

3

4

，當且僅當a=c時最大值，
則△ABC面積的最大值為

3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及等差數列的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．