Question

2．已知數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n為奇數）}\\{2{a}_{n}-n（n為偶數）}\end{array}\right.$，設b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N*，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n為奇數）}\\{2{a}_{n}-n（n為偶數）}\end{array}\right.$，可得：a_2k+1=2a_2k-2k=2×$\frac{1}{2}$（a_2k-1+2k-1）-2k=a_2k-1-1，可得a_2k+1-a_2k-1=-1，利用等差數列的通項公式可得：a_2k-1，a_2k+1代入b_n=a_2n+1+4n-2，即可得出．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+n）（n為奇數）}\\{2{a}_{n}-n（n為偶數）}\end{array}\right.$，
可得：a_2k+1=2a_2k-2k=2×$\frac{1}{2}$（a_2k-1+2k-1）-2k=a_2k-1-1，∴a_2k+1-a_2k-1=-1，
∴數列{a_2k-1}成等差數列，∴a_2k-1=2-（k-1）=3-k．
∴b_n=a_2n+1+4n-2=3-（n+1）+4n-2=3n．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．