Question

4．如圖，池塘的邊緣為曲線段OMB，它可以近似看成是函數f（x）=x²在0≤x≤6的圖象，BA垂直于x軸于點A，現要建一個以A為直角的觀光站臺△APQ，其中斜邊PQ與曲線段OMB相切于點M（t，t²），切線PQ交x軸于點P，交線段AB于點Q，圖中的陰影部分種植草坪．
（1）將△QAP的面積表達為t的函數；
（2）求草坪的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出切線方程，從而求出△QAP的面積；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式求出函數的極大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x，所以過點M的切線的斜率為k=f′（t）=2t，…（1分）
由點斜式得切線PQ方程為y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²…①…（2分）
S_△QAP=$\frac{1}{2}$|AP|•|AQ|=$\frac{1}{2}$（6-x_p）•y_Q…②
對①令x=6得y_Q=12t-t²…③…（3分）
令y=0，得x_p=$\frac{t}{2}$…④…（4分）
③④代入②得S_△QAP=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{t}{2}$）•（12t-t²）=$\frac{1}{4}$t³-6t²+36t．…（5分）
（2）S′_AQAP=$\frac{3}{4}$t²-12t+36，…（6分）
令S′_△QAP=0，解得t=4或t=12（舍去）…（7分）

T	（0，4）	4	（4，6）
s′	+	0	-
s	增	極大值64	減

…（10分）
所以當t=4時S_△QAP有極大值64，
所以當t=4時，△QAP的面積的最大值為64．…（11分）
又${∫}_{0}^{6}$x²dx=72．…（12分）
故草坪的面積的最小值為72-64=8．…（13分）

點評 本題考查了函數的單調性、均值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．