Question

15．在三棱錐P-ABC中，已知∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABC，且PA=4，則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（　�。�

• A． 8π
• B． 24π
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 三棱錐的體積為V_p-ABC=$\frac{1}{3}$×PA×S_△ABC，要使V_p-ABC取得最大，則S_△ABC 取最大值；
又由于AB²+BC²≥2AB•BC⇒AB•BC≤4，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)取最大值，S_△ABC 的最大值為2；
所以，△ABC為等腰直角三角形，則球心O所在直線垂直過AC線段中心M，且與PA平行，即可判斷球心位置．

解答 解：由題意知，PA⊥平面ABC，且PA=4；
三棱錐的體積為V_p-ABC=$\frac{1}{3}$×PA×S_△ABC，
要使V_p-ABC取得最大，則S_△ABC 取最大值；
∵∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{2}$；
∵AB²+BC²≥2AB•BC⇒AB•BC≤4；
∴S_△ABC 的最大值為$\frac{1}{2}$×4=2，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)取最大值；
所以，△ABC為等腰直角三角形，
則球心O所在直線垂直過AC線段中心M，且與PA平行；
∵AC=2$\sqrt{2}$⇒AM=$\sqrt{2}$；
設(shè)球半徑為R，則OA=OP，OM=2；
由勾股定理知：R²=$（\sqrt{2}）^{2}$+2²⇒R=$\sqrt{6}$；
外接球表面積為S=4πR²=24π；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三棱錐的體積求法，函數(shù)最值問題以及分析球心位置，屬中等題．