Question

7．在平面上$\overrightarrow{A{B_1}}$⊥$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{O{B_1}}$|=|$\overrightarrow{O{B_2}}$|=1，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{B_1}}$+$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{OP}$|＜$\frac{1}{3}$，則|$\overrightarrow{OA}$|的取值范圍（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{10}}}{3}]$
• B． $（\frac{{\sqrt{10}}}{3}，\frac{{\sqrt{17}}}{3}]$
• C． $（\frac{{\sqrt{10}}}{3}，\sqrt{2}]$
• D． $（\frac{{\sqrt{17}}}{3}，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根據題意知，A、B₁、P、B₂ 構成一個矩形，以AB₁、AB₂ 所在直線為坐標軸建立直角坐標系；利用不等式綜合知識點來求出|OA|的范圍．

解答 解：根據題意知，A、B₁、P、B₂ 構成一個矩形，以AB₁、AB₂ 所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖所示：
設|AB₁|=a，|AB₂|=b，點O的坐標為（x，y），則點P的坐標為（a，b）；
由|$\overrightarrow{O{B}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{B}_{2}}$|=1，得$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+（y-b）^{2}=1}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}=1-{y}^{2}}\\{（y-b）^{2}=1-{x}^{2}}\end{array}\right.$
∵|$\overrightarrow{OP}$|＜$\frac{1}{3}$，∴$（x-a）^{2}+（y-b）^{2}＜\frac{1}{9}$，
∴1-y²+1-x²＜$\frac{1}{9}$；
∴${x}^{2}+{y}^{2}＞\frac{17}{9}$；①
又∵（x-a）²+y²=1；
∴y²=1-（x-a）²≤1；
∴y²≤1；
同理x²≤1；
∴x²+y²≤2  ②，
由①②知$\frac{17}{9}＜{x}^{2}+{y}^{2}≤2$；
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$；
∴$\frac{\sqrt{17}}{3}＜|\overrightarrow{OA}|≤\sqrt{2}$．
故選：D

點評 本題考查了構造直角坐標系，平面向量的基本應用，以及不等式綜合知識點，屬中等偏上題．