Question

1．已知點P是函數y=x-2lnx圖象上一點，點Q是直線x+y+1=0上的動點，則PQ的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 當曲線上過點P的切線和直線x+y+1=0平行時，點P到直線x+y+1=0的距離最小，求出曲線對應的函數的導數，令導數值等于-1，可得切點的坐標，此切點到直線x+y+1=0的距離即為所求．

解答 解：當過點P的切線和直線x+y+1=0平行時，點P到直線x+y+1=0的距離最小．
由題意可得，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=-1，
∴x=1，
∴f（1）=1，
∴曲線y=x-2lnx和直線x+y+1=0平行的切線經過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線x+y+1=0的距離d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴P，Q兩點間的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．