Question

9．己知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a=2，且$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{c-b}{2+b}$．則△ABC面積的最大值$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求b²+c²-a²=bc，進而利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），可求A的值，進而利用余弦定理，基本不等式可求4≥bc，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{c-b}{2+b}$，a=2，
∴$\frac{a-b}{c}$=$\frac{c-b}{a+b}$，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，當且僅當b=c時等號成立，
則△ABC面積的最大值$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．