Question

19．在四棱錐P-ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G為PC的中點，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2$\sqrt{3}$，F，M分別為BC，EG上一點，且AF∥CD．
（1）求$\frac{ME}{MG}$的值，使得CM∥平面AFG；
（2）過點E作平面PCD的垂線，垂足為H，求四棱錐H-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意求出∠BAC的值，再由余弦定理可得BC，又BC=DE，則DE值可得，當$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$時，AG∥DM，又AF∥CD，AF∩AG=A，則平面CDM∥平面AFG，CM?平面CDM，可得CM∥平面AFG；
（2）過E作EH⊥PD，垂足為H，則△APD∽△EHD，由PA=AD=2，得△APD為等腰直角三角形，則△EHD也為等腰直角三角形，結合已知條件，可得CD⊥平面PAE，則EH⊥平面PCD，過H作DE的垂線，垂足為O，則HO⊥底面ABCE，可得HO的值，進一步求出四邊形ABCD的面積，則四棱錐H-ABCD的體積可求．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC為直角，
tan∠CAD=$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，則∠CAD=60°，
又AC平分∠BAD，∴∠BAC=60°，
∵AB=3，AC=4，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{13}$，則DE=$\sqrt{13}$．
當$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$時，AG∥DM，
又AF∥CD，AF∩AG=A，∴平面CDM∥平面AFG．
∵CM?平面CDM，∴CM∥平面AFG；
（2）過E作EH⊥PD，垂足為H，則△APD∽△EHD，
由PA=AD=2，得△APD為等腰直角三角形，則△EHD也為等腰直角三角形，
∵PA⊥底面ABCE，∴AP⊥CD，
∵CD⊥AE，PA∩AE=A，
∴CD⊥平面PAE，則CD⊥EH，
則EH⊥平面PCD，
過H作DE的垂線，垂足為O，則HO⊥底面ABCE，
可得HO=$\frac{1}{2}DE=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵四邊形ABCD的面積為$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×3×4×sin60°=5\sqrt{3}$．
∴${V}_{H-ABCD}=\frac{1}{3}×5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{5\sqrt{39}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，考查了棱錐的體積，考查了空間想象能力以及計算能力，是中檔題．